monad・餘 monad の隨伴對への分解
monad (圈)$ (T,\mu,\eta)は一意とは限らないが隨伴對$ F\dashv Uの合成$ F;Uに分解できる 餘 monad$ (T,\Delta,\epsilon)は一意とは限らないが隨伴對$ F\dashv Uの合成$ U;Fに分解できる 隨伴 (函手)對$ (F\dashv U):{\bf C}\xrightleftarrows[F]{U}{\bf D} の monad (圈)$ (T_{:{\bf D}\to{\bf D}},\eta,\mu)の分解は圈$ {\rm Resol}(T)を成す 對象は隨伴對$ F\dashv U,$ F;U=T
$ (F\dashv U):{\bf C}\xrightleftarrows[F]{U}{\bf D} ,$ (F'\dashv G'):{\bf C'}\xrightleftarrows[F']{U'}{\bf D} を二つの$ T の分解として、射$ f:(F\dashv U)\to(F'\dashv U')は、函手$ f:{\bf C}\to{\bf C'}であって、可換圖式$ {\bf D}\xrightarrow{F}{\bf C}\xrightarrow{f}{\bf C'}\xleftarrow{F'}{\bf D},$ {\bf C}\xrightarrow{f}{\bf C'}\xrightarrow{U'}{\bf D}\xleftarrow{U}{\bf C}を滿たすもの 餘 monad$ (T,\Delta,\epsilon)の分解の圈$ {\rm coResol}(T) 圈$ \bf Cの monad (圈)$ (T,\eta,\mu)に對して、$ T-代數 (圈)$ (A_{\in|{\bf C}|},\alpha_{:T(A)\to A})を對象とし、$ T-代數 (圈)$ (A,\alpha),$ (B,\beta)に對して射$ f:A\to Bで可換圖式$ \begin{CD}T(A) @>\alpha>> A \\ @VT(f)VV @VVfV \\ T(B) @>>\beta> B\end{CD},$ \alpha;f=T(f);\betaを滿たすものを射とする圈を Eilenberg-Moore 圈$ {\bf C}^Tと呼ぶ 隨伴 (函手)$ (F^T\dashv U^T):{\bf C}^T\xrightleftarrows[F^T]{U^T}{\bf C} $ F^T:A\mapsto(T(A),\mu_A),f\mapsto T(f)自由函手 $ U^T:(A,\alpha)\mapsto A,f\mapsto f忘卻函手 餘 monad 上の餘代數 (圈)$ (A_{\in|{\bf C}|},\alpha_{:A\to T(A)}),$ \begin{CD}A @>\alpha>> T(A) \\ @VfVV @VVT(f)V \\ B @>>\beta> T(B)\end{CD},$ f;\beta=\alpha;T(f)全體の成す圈 圈$ \bf Cの monad (圈)$ (T,\eta,\mu)に對して、$ \bf Cの對象を對象とし、$ x\to y,x\mapsto T(y)を射とする圈を Kleisli 圈$ {\bf C}_Tと呼ぶ Hom は$ {\bf C}_T(x,y)={\bf C}(x,T(y))を滿たす
合成射は、射$ f:x\to y,x\mapsto T(y),$ g:y\to z,y\mapsto T(z)に對して$ (f;g):x\to z,x\mapsto T(z)は$ x\xrightarrow{f}T(y)\xrightarrow{T(g)}(T;T)(z)\xrightarrow{\mu_z}T(z)で定める Kleisli triple で言へば、$ f;g^*で合成を定める
恆等射は$ \eta_x:x\to x,x\mapsto T(x) 隨伴 (函手)$ (F_T\dashv U_T):{\bf C}_T\xrightleftarrows[F_T]{U_T}{\bf C} $ F_T:x\mapsto x,f_{:x\to y}\mapsto f;\eta_y
$ U_T: x\mapsto T(x),f_{:x\to y}\mapsto T(f);\mu_y
自己函手$ T:{\bf C}\to{\bf C}と自然變換$ \eta:{\rm Id}_{\bf C}\Rarr T,A\mapsto T(A)と、射$ f:A\to T(B)を射$ f^*:T(A)\to T(B)に擴張する演算子 (extension operator)$ \_^*の組$ (T,\eta,\_^*)で、以下を滿たすものを Kleisli triple と呼ぶ $ {\eta_A}^*={\rm id}_{T(A)}
射$ f:A\to T(B)に對して$ \eta_A;f^*=f
射$ f:A\to T(B),$ g:B\to T(C)に對して$ f^*;g^*=(f;g^*)^*